miércoles, 11 de noviembre de 2009

CALCULO: DERIVADAS

INTRODUCCION

la derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abscisas,a ese punto.

La derivada de una función mide el coeficiente de variación de dicha función. Es decir, provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio. El coeficiente de cambio indica lo rápido que crece (o decrece) una función en un punto (razón de cambio promedio) respecto del eje x\, de un plano cartesiano de dos dimensiones. Por ejemplo si tomamos la velocidad de algo, su coeficiente es la aceleración, la cual mide cuánto cambia la velocidad en un tiempo dado.

DESARROLLO DEL TEMA

El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la "antiderivada" o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.

La derivada es un concepto que tiene muchas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación.

Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.

Introducción geométrica a las derivadas [editar]

Es importante entender qué es una función matemática para hablar de derivadas. Una ecuación que relaciona dos variables x\, e y\, puede representarse por una función, siempre y cuando a cada valor de x\, le corresponda uno y solamente un valor de y\,. Notar que dos valores diferentes de x\, pueden apuntar a un mismo valor de y\, sin contradecir la definición dada de función. La correspondencia entre estas dos variables se puede abstraer mediante parejas (x,y)\,, donde y\, es el valor numérico que resulta de evaluar la ecuación usando algún número x\,. Tales parejas se pueden interpretar como puntos geométricos en un plano cartesiano de manera que, al graficar muchos puntos, se obtiene un dibujo que representa la función.

Por ejemplo, dada la ecuación y=\frac x{x^2+1}, se pueden obtener una infinidad de parejas dando valores arbitrarios a x\, y calculando y\, como se muestra en la siguiente tabla:

Función 100.svg
y = \frac x{x^2+1} ; \; y' = f'(x) = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}
x y
-5 -0,192...
-4 -0,235...
-3 -0,3
-2 -0,4
-1 -0,5
0 0,0
1 0,5
2 0,4
3 0,3
4 0,235...
5 0,192...

En esta tabla se obtienen valores para puntos (x,y)\, que pueden ser graficados en un plano cartesiano con ejes x\, e y\,. En lenguaje matemático la palabra "función" se expresa sustituyendo la variable y\, por la expresión f(x)\, e indicando así que f\, es una función, en este caso evaluada con la letra x\,. En lenguaje coloquial f(x)\, se lee "efe de equis". Así pues en la ecuación anterior el valor de la variable y\, viene dado por f(x)\, donde f(x)=\frac x{x^2+1}

y del mismo modo, las coordenadas (x,y)\, de los puntos en el plano cartesiano tendrían el aspecto (x,f(x))\, puesto que la coordenada y\, se puede expresar como f(x)\,.


La derivada de una función.

La derivada de una función f\, es otra función que se denota como f'\,.

La gráfica de f'\, en el plano cartesiano, representa la velocidad con que f\, crece o decrece en cada punto. Esta velocidad de crecimiento o decrecimiento viene identificada por la pendiente en el punto tratado. Es evidente que con un solo punto dibujado en la gráfica no puede apreciarse pendiente alguna, pero al dibujar dos puntos muy cercanos y al unirlos mediante una línea la idea de pendiente queda visualizada.

En la gráfica de una función derivable, la pendiente representa la rapidez con que aumenta el valor en cada punto. Si la pendiente en un punto es muy grande, entonces la función en ese punto crece muy deprisa; si la pendiente es muy pequeña, entonces la función crece muy despacio en ese punto.

Por lo tanto la pendiente(o valor de crecimiento) en un punto x\, de la función f\, está dado por f'(x)\,.

En términos geométricos, esta pendiente f'(x)\, es "la inclinación" de la línea recta que pasa justo por encima del punto (x, f(x))\, y que es tangente a la gráfica de f\,.

Conocer la derivada de una función por lo general resulta una tarea sencilla utilizando las técnicas de derivación desarrolladas por Gottfried Leibniz e Isaac Newton, las cuales permiten conocer las derivadas de muchas de las funciones de interés frecuente o bien, simplificar el trabajo para encontrar derivadas menos comunes.

Condiciones de continuidad de una función [editar]

Una función continua es aquella cuya regla de correspondencia asigna incrementos pequeños en la variable dependiente a pequeños incrementos de los elementos del dominio de dicha función, es decir,  \lim_{\Delta x \to 0}\Delta y=0, y usando la expresión Δy + y = f(Δx + x), queda  \lim_{\Delta x \to 0}f(\Delta x +x)-y=0 donde en este caso, f(x) = y. Ello quiere decir que \lim_{x \to a}f_{(x)}=f_{(a)}, y si este último límite existe significa en consecuencia por un teorema de límites (un límite existe si y sólo si los dos límites laterales existen y son iguales) que toda función f(x) que cumpla con

 \lim_{x \to a+}f(x)= \lim_{x \to a-}f(x)=\lim_{x \to a}f(x)=f(a) es continua en el punto a.

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